PASUPALI

· Matriks

· Relasi

Representasi Relasi

1. Representasi Relasi dengan Diagram Panah

2. Representasi Relasi dengan Tabel

3. Representasi Relasi dengan Matriks

4. Representasi Relasi dengan Graf Berarah

· Sifat-sifat Relasi Biner

1. Refleksif (reflexive)

2. Menghantar (transitive)

3. Setangkup (symmetric) dan tak-setangkup (antisymmetric)

4. Relasi Inversi

5. Mengkombinasikan Relasi

6. Komposisi Relasi

7. Relasi n-ary

7.1. Seleksi

7.2. Proyeksi

7.3. Join.

Matriks

· Matriks adalah adalah susunan skalar elemen-elemen dalam bentuk baris dan kolom.

· Matriks A yang berukuran dari m baris dan n kolom (m ´ n) adalah:

· Matriks bujursangkar adalah matriks yang berukuran n ´ n.

· Dalam praktek, kita lazim menuliskan matriks dengan notasi ringkas A = [a_ij].

Contoh 1. Di bawah ini adalah matriks yang berukuran 3 ´ 4:

· Matriks simetri adalah matriks yang a_ij = a_ji untuk setiap i dan j.

Contoh 2. Di bawah ini adalah contoh matriks simetri.

· Matriks zero-one (0/1) adalah matriks yang setiap elemennya hanya bernilai 0 atau 1.

Contoh 3. Di bawah ini adalah contoh matriks 0/1:

Relasi

· Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A ´ B.

· Notasi: R Í (A ´ B).

· a R b adalah notasi untuk (a, b) Î R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh R

· a R b adalah notasi untuk (a, b) Ï R, yang artinya a tidak dihubungkan oleh b oleh relasi R.

· Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari R, dan himpunan B disebut daerah hasil (range) dari R.

Contoh 3. Misalkan

A = {Amir, Budi, Cecep}, B = {IF221, IF251, IF342, IF323}

A ´ B = {(Amir, IF221), (Amir, IF251), (Amir, IF342),

(Amir, IF323), (Budi, IF221), (Budi, IF251),

(Budi, IF342), (Budi, IF323), (Cecep, IF221),

(Cecep, IF251), (Cecep, IF342), (Cecep, IF323) }

Misalkan R adalah relasi yang menyatakan mata kuliah yang diambil oleh mahasiswa pada Semester Ganjil, yaitu

R = {(Amir, IF251), (Amir, IF323), (Budi, IF221),

(Budi, IF251), (Cecep, IF323) }

- Dapat dilihat bahwa R Í (A ´ B),

- A adalah daerah asal R, dan B adalah daerah hasil R.

- (Amir, IF251) Î R atau Amir R IF251

- (Amir, IF342) Ï R atau Amir R IF342.

Contoh 4. Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}. Jika kita definisikan relasi R dari P ke Q dengan(p, q) Î R jika p habis membagi q

maka kita peroleh

R = {(2, 2), (2, 4), (2, 8), (3, 9), (3, 15),

(4, 4), (4, 8), }.

• Relasi pada sebuah himpunan adalah relasi yang khusus

• Relasi pada himpunan A adalah relasi dari A ´ A.

• Relasi pada himpunan A adalah himpunan bagian dari A ´ A.

Contoh 5. Misalkan R adalah relasi pada A = {2, 3, 4, 8, 9} yang didefinisikan oleh (x, y) Î R jika x adalah faktor prima dari y. Maka

R = {(2, 2), (2, 4), (2, 8), (3, 3), (3, 9)}

Representasi Relasi

1. Representasi Relasi dengan Diagram Panah

2. Representasi Relasi dengan Tabel

· Kolom pertama tabel menyatakan daerah asal, sedangkan kolom kedua menyatakan daerah hasil.

3. Representasi Relasi dengan Matriks

· Misalkan R adalah relasi dari A = {a₁, a₂, …, a_m} dan B = {b₁, b₂, …, b_n}.

· Relasi R dapat disajikan dengan matriks M = [m_ij],

b₁ b₂ ¼ b_n

yang dalam hal ini

Contoh 6. Relasi R pada Contoh 3 dapat dinyatakan dengan matriks

dalam hal ini, a₁ = Amir, a₂ = Budi, a₃ = Cecep, dan b₁ = IF221,

b₂ = IF251, b₃ = IF342, dan b₄ = IF323.

Relasi R pada Contoh 4 dapat dinyatakan dengan matriks

yang dalam hal ini, a₁ = 2, a₂ = 3, a₃ = 4, dan b₁ = 2, b₂ = 4, b₃ = 8, b₄ = 9, b₅ = 15.

4. Representasi Relasi dengan Graf Berarah

· Relasi pada sebuah himpunan dapat direpresentasikan secara grafis dengan graf berarah (directed graph atau digraph)

· Graf berarah tidak didefinisikan untuk merepresentasikan relasi dari suatu himpunan ke himpunan lain.

· Tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (disebut juga simpul atau vertex), dan tiap pasangan terurut dinyatakan dengan busur (arc)

· Jika (a, b) Î R, maka sebuah busur dibuat dari simpul a ke simpul b. Simpul a disebut simpul asal (initial vertex) dan simpul b disebut simpul tujuan (terminal vertex).

· Pasangan terurut (a, a) dinyatakan dengan busur dari simpul a ke simpul a sendiri. Busur semacam itu disebut gelang atau kalang (loop).

Contoh 7. Misalkan R = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, c), (b, d), (c, a), (c, d), (d, b)} adalah relasi pada himpunan {a, b, c, d}.

R direpresentasikan dengan graf berarah sbb:

Sifat-sifat Relasi Biner

· Relasi biner yang didefinisikan pada sebuah himpunan mempunyai beberapa sifat.

1. Refleksif (reflexive)

· Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a, a) Î R untuk setiap a Î A.

· Relasi R pada himpunan A tidak refleksif jika ada a Î A sedemikian sehingga (a, a) Ï R.

Contoh 8. Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka

(a) Relasi R = {(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 3),

(4, 4) } bersifat refleksif karena terdapat elemen relasi yang berbentuk (a, a), yaitu (1, 1), (2, 2), (3, 3), dan (4, 4).

(b) Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4) } tidak bersifat refleksif karena (3, 3) Ï R.

Contoh 9. Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif bersifat refleksif karena setiap bilangan bulat positif habis dibagi dengan dirinya sendiri, sehingga (a, a)ÎR untuk setiap a Î A.

Contoh 10. Tiga buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada himpunan bilangan bulat positif N.

R : x lebih besar dari y, S : x + y = 5, T : 3x + y = 10

Tidak satupun dari ketiga relasi di atas yang refleksif karena, misalkan (2, 2) bukan anggota R, S, maupun T.

· Relasi yang bersifat refleksif mempunyai matriks yang elemen diagonal utamanya semua bernilai 1, atau m_ii = 1, untuk i = 1, 2, …, n,

· Graf berarah dari relasi yang bersifat refleksif dicirikan adanya gelang pada setiap simpulnya.

2. Menghantar (transitive)

· Relasi R pada himpunan A disebut menghantar jika (a, b) Î R dan (b, c) Î R, maka (a, c) Î R, untuk a, b, c Î A.

· Relasi R pada himpunan A disebut menghantar jika tidak ada (a, b) Î R dan (b, c) Î R, sedemikian hingga (a, c) Î R, untuk a, b, c Î A.

Contoh 11. Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan

pada himpunan A, maka

(a) R = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3) } bersifat menghantar.

Lihat tabel berikut:

Pasangan berbentuk

(a, b) (b, c) (a, c)

(3, 2) (2, 1) (3, 1)

(4, 2) (2, 1) (4, 1)

(4, 3) (3, 1) (4, 1)

(4, 3) (3, 2) (4, 2)

(a) R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } tidak manghantar karena

(2, 4) dan (4, 2) Î R, tetapi (2, 2) Ï R, begitu juga (4, 2) dan (2, 3) Î R, tetapi (4, 3) Ï R.

(b) Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) } jelas menghantar

(a, b) Î R dan (b, c) Î R sedemikian sehingga (a, c) Î R.

Relasi yang hanya berisi satu elemen seperti R = {(4, 5)} selalu menghantar.

Contoh 12. Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif bersifat menghantar. Misalkan bahwa a habis membagi b dan b habis membagi c. Maka terdapat bilangan positif m dan n sedemikian sehingga b = ma dan c = nb. Di sini c = nma, sehingga a habis membagi c. Jadi, relasi “habis membagi” bersifat menghantar.

Contoh 13. Tiga buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada himpunan bilangan bulat positif N.

R : x lebih besar dari y, S : x + y = 6, T : 3x + y = 10

- R adalah relasi menghantar karena jika x > y dan y > z maka x > z.

- S tidak menghantar karena, misalkan (4, 2) dan (2, 4) adalah anggota S tetapi (4, 4) Ï S.

- T = {(1, 7), (2, 4), (3, 1)} menghantar.

· Relasi yang bersifat menghantar tidak mempunyai ciri khusus pada matriks representasinya

· Sifat menghantar pada graf berarah ditunjukkan oleh: jika ada busur dari a ke b dan dari b ke c, maka juga terdapat busur berarah dari a ke c.

3. Setangkup (symmetric) dan tak-setangkup (antisymmetric)

· Relasi R pada himpunan A disebut setangkup jika (a, b) Î R, maka (b, a) Î R untuk a, b Î A.

· Relasi R pada himpunan A tidak setangkup jika (a, b) Î R sedemikian sehingga (b, a) Ï R.

· Relasi R pada himpunan A sedemikian sehingga (a, b) Î R dan (b, a) Î R hanya jika a = b untuk a, b Î A disebut tolak-setangkup.

· Relasi R pada himpunan A tidak tolak-setangkup jika ada elemen berbeda a dan b sedemikian sehingga (a, b) Î R dan (b, a) Î R.

Contoh 14. Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka

(a) Relasi R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4) } bersifat setangkup karena jika (a, b) Î R maka (b, a) juga Î R. Di sini (1, 2) dan (2, 1) Î R, begitu juga (2, 4) dan (4, 2) Î R.

(b) Relasi R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } tidak setangkup karena (2, 3) Î R, tetapi (3, 2) Ï R.

(c) Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3) } tolak-setangkup karena 1 = 1 dan (1, 1) Î R, 2 = 2 dan (2, 2) Î R, dan 3 = 3 dan (3, 3) Î R. Perhatikan bahwa R juga setangkup.

(d) Relasi R = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3) } tolak-setangkup karena (1, 1) Î R dan 1 = 1 dan, (2, 2) Î R dan 2 = 2 dan. Perhatikan bahwa R tidak setangkup.

(e) Relasi R = {(1, 1), (2, 4), (3, 3), (4, 2) } tidak tolak-setangkup karena 2 ¹ 4 tetapi (2, 4) dan (4, 2) anggota R. Relasi R pada (a) dan (b) di atas juga tidak tolak-setangkup.

(f) Relasi R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3) } tidak setangkup.

Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (4, 2), (4, 4)} tidak setangkup dan tidak tolak-setangkup. R tidak setangkup karena (4, 2) Î R tetapi (2, 4) Ï R. R tidak tolak-setangkup karena (2, 3) Î R dan (3, 2) Î R tetap 2 ¹ 3.

Contoh 15. Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif tidak setangkup karena jika a habis membagi b, b tidak habis membagi a, kecuali jika a = b. Sebagai contoh, 2 habis membagi 4, tetapi 4 tidak habis membagi 2. Karena itu, (2, 4) Î R tetapi (4, 2) Ï R. Relasi “habis membagi” tolak-setangkup karena jika a habis membagi b dan b habis membagi a maka a = b. Sebagai contoh, 4 habis membagi 4. Karena itu, (4, 4) Î R dan 4 = 4.

Contoh 16. Tiga buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada himpunan bilangan bulat positif N.

R : x lebih besar dari y, S : x + y = 6, T : 3x + y = 10

- R bukan relasi setangkup karena, misalkan 5 lebih besar dari 3 tetapi 3 tidak lebih besar dari 5.

- S relasi setangkup karena (4, 2) dan (2, 4) adalah anggota S.

- T tidak setangkup karena, misalkan (3, 1) adalah anggota T tetapi (1, 3) bukan anggota T.

- S bukan relasi tolak-setangkup karena, misalkan (4, 2) Î S dan (4, 2) Î S tetapi 4 ¹ 2.

- Relasi R dan T keduanya tolak-setangkup (tunjukkan!).

· Relasi yang bersifat setangkup mempunyai matriks yang elemen-elemen di bawah diagonal utama merupakan pencerminan dari elemen-elemen di atas diagonal utama, atau m_ij = m_ji = 1, untuk i = 1, 2, …, n :

· Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat setangkup dicirikan oleh: jika ada busur dari a ke b, maka juga ada busur dari b ke a

· Matriks dari relasi tolak-setangkup mempunyai sifat yaitu jika m_ij = 1 dengan i ¹ j, maka m_ji = 0. Dengan kata lain, matriks dari relasi tolak-setangkup adalah jika salah satu dari m_ij = 0 atau m_ji = 0 bila i ¹ j :

· Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat tolak-setangkup dicirikan oleh: jika dan hanya jika tidak pernah ada dua busur dalam arah berlawanan antara dua simpul berbeda.

4. Relasi Inversi à

· Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari relasi R, dilambangkan dengan R^–1, adalah relasi dari B ke A yang didefinisikan oleh

R^–1 = {(b, a) | (a, b) Î R }

Contoh 17. Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}. Jika kita definisikan relasi R dari P ke Q dengan

(p, q) Î R jika p habis membagi q

maka kita peroleh

R = {(2, 2), (2, 4), (2, 8), (3, 9), (3, 15), (4, 4), (4, 8) }

R^–¹ adalah invers dari relasi R, yaitu relasi dari Q ke P dengan

(q, p) Î R^–1 jika q adalah kelipatan dari p

maka kita peroleh

Jika M adalah matriks yang merepresentasikan relasi R,

maka matriks yang merepresentasikan relasi R^–1, misalkan N, diperoleh dengan melakukan transpose terhadap matriks M,

5. Mengkombinasikan Relasi

· Karena relasi biner merupakan himpunan pasangan terurut, maka operasi himpunan seperti irisan, gabungan, selisih, dan beda setangkup antara dua relasi atau lebih juga berlaku.

· Jika R₁ dan R₂ masing-masing adalah relasi dari himpuna A ke himpunan B, maka R₁ Ç R₂, R₁ È R₂, R₁ – R₂, dan R₁ Å R₂ [A Å B = (A È B) – (A Ç B) = (A – B) È (B – A)] juga adalah relasi dari A ke B.

Contoh 18. Misalkan A = {a, b, c} dan B = {a, b, c, d}.

Relasi R₁ = {(a, a), (b, b), (c, c)}

Relasi R₂ = {(a, a), (a, b), (a, c), (a, d)}

R₁ Ç R₂ = {(a, a)}

R₁ È R₂ = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d)}

R₁ - R₂ = {(b, b), (c, c)}

R₂ - R₁ = {(a, b), (a, c), (a, d)}

R₁ Å R₂ = {(b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d)}

· Jika relasi R₁ dan R₂ masing-masing dinyatakan dengan matriks M_R₁ dan M_R₂, maka matriks yang menyatakan gabungan dan irisan dari kedua relasi tersebut adalah

M_R₁_È_R2 = M_R₁ Ú M_R₂ dan M_R₁_Ç_R2 = M_R₁ Ù M_R₂

Contoh 19. Misalkan bahwa relasi R₁ dan R₂ pada himpunan A dinyatakan oleh matriks

maka

6. Komposisi Relasi

· Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dan S adalah relasi dari himpunan B ke himpunan C. Komposisi R dan S, dinotasikan dengan S o R, adalah relasi dari A ke C yang didefinisikan oleh

S o R = {(a, c) ½ a Î A, c Î C, dan untuk beberapa b Î B,

(a, b) Î R dan (b, c) Î S }.

Contoh 20. Misalkan

R = {(1, 2), (1, 6), (2, 4), (3, 4), (3, 6), (3, 8)}

adalah relasi dari himpunan {1, 2, 3} ke himpunan {2, 4, 6, 8} dan

S = {(2, u), (4, s), (4, t), (6, t), (8, u)}

adalah relasi dari himpunan {2, 4, 6, 8} ke himpunan {s, t, u}.

Maka komposisi relasi R dan S adalah

S o R = {(1, u), (1, t), (2, s), (2, t), (3, s), (3, t), (3, u) } .

Komposisi relasi R dan S lebih jelas jika diperagakan dengan diagram panah:

· Jika relasi R₁ dan R₂ masing-masing dinyatakan dengan matriks M_R₁ dan M_R₂, maka matriks yang menyatakan komposisi dari kedua relasi tersebut adalah

M_R₂_o_R1 = M_R₁ × M_R₂

yang dalam hal ini operator “.” sama seperti pada perkalian matriks biasa, tetapi dengan mengganti tanda kali dengan “Ù” dan tanda tambah dengan “Ú”.

Contoh 21. Misalkan bahwa relasi R₁ dan R₂ pada himpunan A dinyatakan oleh matriks

maka matriks yang menyatakan R₂ o R₁ adalah

M_R₂_o_R1 = M_R₁ . M_R₂

Contoh 21. Misalkan bahwa relasi R₁ dan R₂ pada himpunan A dinyatakan oleh matriks

maka matriks yang menyatakan R₂ o R₁ adalah

M_R₂_o_R1 = M_R₁ . M_R₂₌

7. Relasi n-ary

· Relasi biner hanya menghubungkan antara dua buah himpunan.

· Relasi yang lebih umum menghubungkan lebih dari dua buah himpunan. Relasi tersebut dinamakan relasi n-ary (baca: ener).

· Jika n = 2, maka relasinya dinamakan relasi biner (bi = 2). Relasi n-ary mempunyai terapan penting di dalam basisdata.

· Misalkan A₁, A₂, …, A_n adalah himpunan. Relasi n-ary R pada himpunan-himpunan tersebut adalah himpunan bagian dari A₁ ´ A₂ ´ … ´ A_n , atau dengan notasi R Í A₁ ´ A₂ ´ … ´ A_n. Himpunan A₁, A₂, …, A_n disebut daerah asal relasi dan n disebut derajat.

Contoh 22. Misalkan

NIM = {13598011, 13598014, 13598015, 13598019,

13598021, 13598025}

Nama = {Amir, Santi, Irwan, Ahmad, Cecep, Hamdan}

MatKul = {Logika Informatika, Algoritma, Struktur Data,

Arsitektur Komputer}

Nilai = {A, B, C, D, E}

Relasi MHS terdiri dari 4-tupel (NIM, Nama, MatKul, Nilai):

MHS Í NIM ´ Nama ´ MatKul ´ Nilai.

Satu contoh relasi yang bernama MHS adalah

MHS = { (13598011, Amir, Logika Informatika, A),

(13598011, Amir, Arsitektur Komputer, B),

(13598014, Santi, Arsitektur Komputer, D),

(13598015, Irwan, Algoritma, C),

(13598015, Irwan, Struktur Data C),

(13598015, Irwan, Arsitektur Komputer, B),

(13598019, Ahmad, Algoritma, E),

(13598021, Cecep, Algoritma, A),

(13598021, Cecep, Arsitektur Komputer, B),

(13598025, Hamdan, Logika Informatika, B),

(13598025, Hamdan, Algoritma, A, B),

(13598025, Hamdan, Struktur Data, C),

(13598025, Hamdan, Ars. Komputer, B) }

Relasi MHS di atas juga dapat ditulis dalam bentuk Tabel:

· Basisdata (database) adalah kumpulan tabel.

· Salah satu model basisdata adalah model basisdata relasional (relational database). Model basisdata ini didasarkan pada konsep relasi n-ary.

· Pada basisdata relasional, satu tabel menyatakan satu relasi. Setiap kolom pada tabel disebut atribut. Daerah asal dari atribut adalah himpunan tempat semua anggota atribut tersebut berada.

· Setiap tabel pada basisdata diimplementasikan secara fisik sebagai sebuah file.

· Satu baris data pada tabel menyatakan sebuah record, dan setiap atribut menyatakan sebuah field.

· Secara fisik basisdata adalah kumpulan file, sedangkan file adalah kumpulan record, setiap record terdiri atas sejumlah field.

· Atribut khusus pada tabel yang mengidentifikasikan secara unik elemen relasi disebut kunci (key).

· Operasi yang dilakukan terhadap basisdata dilakukan dengan perintah pertanyaan yang disebut query.

· Contoh query:

“tampilkan semua mahasiswa yang mengambil mata kuliah

Matematika Diskrit”

“tampilkan daftar nilai mahasiswa dengan NIM = 13598015”

“tampilkan daftar mahasiswa yang terdiri atas NIM dan mata

kuliah yang diambil”

· Query terhadap basisdata relasional dapat dinyatakan secara abstrak dengan operasi pada relasi n-ary.

· Ada beberapa operasi yang dapat digunakan, diantaranya adalah seleksi, proyeksi, dan join.

7.1. Seleksi

Operasi seleksi memilih baris tertentu dari suatu tabel yang memenuhi persyaratan tertentu.

Operator: s

Contoh 23. Misalkan untuk relasi MHS kita ingin menampilkan daftar mahasiswa yang mengambil mata kuliah Logika Informatrika. Operasi seleksinya adalah

s_{Matkul=”Logika Informatika”}(MHS)

Hasil: (13598011, Amir, Logika Informatika, A) dan

(13598025, Hamdan,Logika Informatika, B)

7.2. Proyeksi

Operasi proyeksi memilih kolom tertentu dari suatu tabel. Jika ada beberapa baris yang sama nilainya, maka hanya diambil satu kali.

Operator: p

Contoh 24. Operasi proyeksi

p_{Nama, MatKul, Nilai} (MHS)

menghasilkan Tabel 3.5. Sedangkan operasi proyeksi